9.5 斯皮尔曼秩相关

如果两组数据的变量分别大致正常，而且两者呈线性关系，那么皮尔逊相关系数可以很好地刻画它们之间的关系。但是皮尔逊相关系数对异常值的影响很敏感。

Anscombe构造的4组数据（Anscombe's quartet）很明显地说明了这个问题。这4个数据集有相同的相关系数：第一个是两组变量呈线性关系，但有随机噪声的影响；第二个是两组变量呈某种非线性的函数关系；第三个是两组变量呈完全的线性关系，但是有一个异常值；最后一个是两组变量并无相关性，但一个异常值除外。读者可以从http://wikipedia.org/wiki/Anscombe's_quartet了解到更具体的信息。

斯皮尔曼秩相关系数（Spearman's Rank Correlation）可以用在存在异常值和变量分布非常不对称的情况。为了计算斯皮尔曼秩相关系数，我们先计算序列中数值的秩（rank），即某个值在序列中按大小排序后的位置。例如在序列{7, 1, 2, 5} 中，值5的秩等于3，因为按从小到大排序，5在这个序列中排第3位。将序列转换成秩之后，再计算皮尔逊相关系数，得到的结果就是斯皮尔曼秩相关系数。

除了斯皮尔曼秩相关系数，另一种方法是对原始的数据做一个变换，使得变换之后的结果接近正态分布，然后再算皮尔逊相关系数。例如，如果数据近似服从对数正态分布，那么我们可以先对数据取对数，然后再算相关系数。

习题9-3

请编写一个计算数据序列的秩的函数。例如，设一个数据序列为{7, 1, 2, 5}，做秩转换后结果为{4, 1, 2, 3}。

如果数据序列中出现多个相同的值，那么严格的做法是给这些数值赋予一个秩的平均值。但如果不这么严格，而是随意地给这些值安排个顺序，一般也不会造成什么误差。

请编写一个函数，计算两个数据序列的斯皮尔曼秩相关系数。读者可以从http://thinkstats.com/correlation.py下载本题的答案。

习题9-4

请下载http://thinkstats.com/brfss.py和http://thinkstats.com/brfss_scatter.py并运行这些代码。确保你能读懂BFRSS数据，然后生成散点图。

将生成的图与图9-1做比较，你期望这里的皮尔逊相关系数会是多少？计算得到的结果呢？

成人体重大致服从对数正态分布，也有相关的异常值影响。请绘制体重的对数与身高的散点图，并计算变换后的皮尔逊相关系数。

最后，请计算体重和身高的斯皮尔曼秩相关系数。你觉得哪个相关系数能更好地描述这两个变量关系的强度？可从http://thinkstats.com/brfss_corr.py下载到问题的答案。