5.1 概率法则

对于频率概率，我们可以推出不同事件概率关系的法则。其中最著名的应该是：

$P(AB) = P(A)P(B)$

警告：该法则并非在所有情况下都成立！

其中$P(AB)$是事件A和事件B同时发生的概率。这个公式很好记，要记住的就是它的成立是有前提条件的，即事件A和事件B 相互独立。换言之，就是事件A的发生对事件B发生的概率没有任何影响，反之亦然。

例如，如果事件A是抛硬币得到正面，而事件B是掷骰子得到一点，那么A和B两个事件就是相互独立的，因为抛硬币的结果跟掷骰子是没有任何关系的。

但如果我是掷两次骰子，事件A是至少得到一个六点，而事件B是得到两个六点，那A和B就不是独立的。因为，如果我知道事件A发生了，那事件B发生的概率就会上升；而如果我知道事件B发生了，那事件A发生的概率就是1。

当事件A和B不独立时，通常需要计算条件概率$P(A|B)$，即在事件B已经发生的情况下事件A发生的概率：

$P(A|B) = P(AB)/P(B)$

据此，我们可以得到更一般的关系：

$P(AB) = P(A)P(B|A)$

这个公式稍微难记点儿，但你把它用语言描述一下就非常好理解，“两件事情同时发生就是第一件事发生后第二件事情也发生了”。

事件发生的先后顺序是没有影响的，所以我们也可以这样写：

$P(AB) = P(B)P(A|B)$

无论事件A和B是否独立，这个关系都是成立的。如果它们是独立的，那么$P(A|B) = P(A)$，我们就得到了一开始说的那个公式。

因为概率的范围是0到1，所以很容易证明：

$P(AB) \leq P(A)$

想象一下，某俱乐部只接受符合特定要求A的人成为其会员。现在假设他们增加了一个新的要求B，显然俱乐部的规模会变小，或者，如果所有成员都满足新要求，俱乐部规模保持不变。但有时候，人们极不擅长此类分析。关于这类现象的例子和相关讨论可以访问http://wikipedia.org/wiki/Conjunction_fallacy。

习题5-1

掷两次骰子，总点数是八，那么其中一次是六点的概率是多少？

习题5-2

掷100次骰子，全部都是六点的概率是多少？没有六点的概率是多少？

习题5-3

下面的问题来自Mlodinow的The Drunkard's Walk一书。

1. 家里有两个小孩，都是女孩的概率是多少?
2. 家里有两个小孩，已知其中至少有一个女孩，两个都是女孩的概率是多少？
3. 家里有两个小孩，已知年龄较大的一个是女孩，两个都是女孩的概率是多少？
4. 家里有两个小孩，已知其中有一个叫Florida的女孩，两个都是女孩的概率是多少？

可以假设任意一个小孩是女孩的概率是1/2（在很多方面都适用），而家里不同小孩的性别是独立事件。还可以假设女孩叫Florida的概率比较小。