6.5 正态分布的性质

我们在本书的前面部分提到了正态分布具有非常好的统计性质，但是并未解释原因。这里我们给出一个解释：正态分布对线性变换和卷积运算是封闭的（closed）。为了说明这些，我们引进几种记法。

假设一个随机变量X服从参数为μ和σ的正态分布，我们可以将其简记为：

$X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma)$

这里记号~表示服从某种分布，花体字母$\mathcal{N}$表示正态分布。

形如$X' = aX+b$的表达式称为随机变量X的一个线性变换，这里a和b为实数。当$X'$与$X$属于同一分布族时，我们说该分布族对线性变换是封闭的。正态分布就具有这种性质。假如$X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$，那么

$X' \sim \mathcal{N}(a\mu + b,a^2\sigma)$

正态分布对卷积运算也是封闭的。若$Z=X+Y$， 且$X \sim \mathcal{N}(\mu_x,\sigma^2_x)$，$Y \sim \mathcal{N}(\mu_y,\sigma^2_y)$，那么

$Z \sim \mathcal{N}(\mu_x+\mu_y,\sigma^2_x + \sigma^2_y)$

我们之前遇见的那些分布都不能满足这些性质。

习题6-10

假设$X \sim \mathcal{N}(\mu_x,\sigma^2_x)$，$Y \sim \mathcal{N}(\mu_y,\sigma^2_y)$，$Z=aX+bY$，请计算Z的分布函数。

习题6-11

让我们看一下如果两个连续型的分布相加，结果会是什么样。首先从指数分布、正态分布、对数正态分布和帕累托分布中任意挑选两个分布，并调整参数使得这两个分布的均值和方差相近。

将两个分布产生的随机数相加，计算其分布。请利用第4章中的方法来测试这两个分布的和是否可以用一个连续型的分布来表示。