9.1 标准分数

本章我们将开始关注变量与变量之间的关系。例如，我们会觉得一般而言身高越高的人体重越重。相关（correlation）就是用来描述这种类型的关系的。

在衡量相关关系的时候会出现的一个问题是，两个变量有不同的度量衡。如身高是用厘米度量的，而体重则是用千克衡量的。还有一个问题，即使两个变量有相同的单位，它们的分布也不同。

有两种方法可以解决这些问题。

1. 将所有的值转换成标准分数（standard score），这就引出了皮尔逊相关系数。
2. 将所有的值转换成百分等级，这就引出了斯皮尔曼相关系数。

假设X是一个序列，$x_i$是其中的一个值，我们定义标准分数的转换公式为$Z_i=(x _i-\mu)/\sigma$，这里$\mu$表示序列的均值，$\sigma$表示标准差。

转换公式的分子表示一个离差，是$x_i$与均值的差异。除以$\sigma$是为了标准化偏差。这样Z的单位就为1，而且均值为0，方差为1。

Z的分布形状与X相似，即如果X是一个正态分布，那么Z也是一个正态分布；如果X的分布函数非对称，或者有一些异常值，那么Z也是如此。这类情况下，百分等级转换会提供更为鲁棒的结果。如R是X的一个百分等级转换结果，那么不论X服从什么类型的分布，R都服从0到100上的均匀分布（R的单位为%）。